B树
B树
B树是一种平衡的多路搜索树，多用于文件系统、数据库的实现
特点
- 1 个节点可以存储超过 2 个元素、可以拥有超过 2 个子节点
- 拥有二叉搜索树的一些性质
- 平衡，每个节点的所有子树高度一致，比较矮
- 几阶B树，就是最多拥有几个子节点
- 数据库实现中一般用200 ~ 300阶B树
m阶B树的性质（m≥2）
假设一个节点存储的元素个数为 x
根节点：1 ≤ x ≤ m − 1
非根节点：┌ m/2 ┐ − 1 ≤ x ≤ m − 1(┌ ┐是向上取整的意思)
如果有子节点，子节点个数 y = x + 1
根节点：2 ≤ y ≤ m
非根节点：┌ m/2 ┐ ≤ y ≤ m
- 比如 m = 3，2 ≤ y ≤ 3，因此可以称为（2, 3）树、2-3树
- 比如 m = 4，2 ≤ y ≤ 4，因此可以称为（2, 4）树、2-3-4树
- 比如 m = 5，3 ≤ y ≤ 5，因此可以称为（3, 5）树
- 比如 m = 6，3 ≤ y ≤ 6，因此可以称为（3, 6）树
- 比如 m = 7，4 ≤ y ≤ 7，因此可以称为（4, 7）树
B树 VS 二叉搜索树
B树 和 二叉搜索树，在逻辑上是等价的
多代节点合并，可以获得一个超级节点
2代合并的超级节点，最多拥有 4 个子节点（至少是 4阶B树）
3代合并的超级节点，最多拥有 8 个子节点（至少是 8阶B树）
n代合并的超级节点，最多拥有 2
m阶B树，最多需要 log2m 代合并
搜索
跟二叉搜索树的搜索类似
- 先在节点内部从小到大开始搜索元素
- 如果命中，搜索结束
- 如果未命中，再去对应的子节点中搜索元素，重复步骤 1
添加
添加 – 上溢的解决(假设5阶)
- 上溢节点的元素个数必然等于 m
- 假设上溢节点最中间元素的位置为 k
- 将 k 位置的元素向上与父节点合并
- 将 [0, k-1] 和 [k + 1, m - 1] 位置的元素分裂成 2 个子节点
- 这 2 个子节点的元素个数，必然都不会低于最低限制（┌ m/2 ┐ − 1）
- 一次分裂完毕后，有可能导致父节点上溢，依然按照上述方法解决
- 最极端的情况，有可能一直分裂到根节点
删除
删除 – 叶子节点
删除 – 非叶子节点
- 假如需要删除的元素在非叶子节点中
- 先找到前驱或后继元素，覆盖所需删除元素的值
- 再把前驱或后继元素删除
- 非叶子节点的前驱或后继元素，必定在叶子节点中
- 所以这里的删除前驱或后继元素 ，就是最开始提到的情况：删除的元素在叶子节点中
- 真正的删除元素都是发生在叶子节点中
删除 – 下溢
删除 – 下溢的解决
- 下溢节点的元素数量必然等于 ┌ m/2 ┐ − 2
- 如果下溢节点临近的兄弟节点，有至少 ┌ m/2 ┐ 个元素，可以向其借一个元素
- 将父节点的元素 b 插入到下溢节点的 0 位置（最小位置）
- 用兄弟节点的元素 a（最大的元素）替代父节点的元素 b
- 这种操作其实就是：旋转
- 如果下溢节点临近的兄弟节点，只有 ┌ m/2 ┐ − 1 个元素
- 将父节点的元素 b 挪下来跟左右子节点进行合并
- 合并后的节点元素个数等于┌ m/2 ┐ + ┌ m/2 ┐ − 2，不超过 m − 1
- 这个操作可能会导致父节点下溢，依然按照上述方法解决，下溢现象可能会一直往上传播
例子
4阶B树
